可以要求公司补缴2005年至2011年的社保。根据《社会保险法》，公司应为员工缴纳社保，未缴纳可投诉要求补缴。长期未缴纳可能导致退休待遇受影响、医疗保障缺失等严重后果。
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处理社保未缴纳问题，常见方式有协商和投诉。先与公司协商补偿，无果则向劳动部门投诉，申请劳动仲裁，根据《劳动法》维护自身权益。
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可要求补缴社保。操作如下：1.与公司协商，明确补缴意愿和期限；2.协商无果，收集工作证明、社保缴纳记录等证据；3.向当地社保部门或劳动监察大队投诉，并申请劳动仲裁；4.跟进处理结果，确保权益得到保障。